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Point Group Tables of D_4h(4/mmm)

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Character Table of the group D_4h(4/mmm)*
D_4h(4/mmm)	#	1	2	4	2₁₀₀	2_1-10	-1	m_z	-4	m₁₀₀	m_1-10	functions
Mult.	-	1	1	2	2	2	1	1	2	2	2	·
A_1g	Γ₁⁺	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	x²+y²,z²
A_2g	Γ₂⁺	1	1	1	-1	-1	1	1	1	-1	-1	J_z
B_1g	Γ₃⁺	1	1	-1	1	-1	1	1	-1	1	-1	x²-y²
B_2g	Γ₄⁺	1	1	-1	-1	1	1	1	-1	-1	1	xy
E_g	Γ₅⁺	2	-2	0	0	0	2	-2	0	0	0	(xz,yz),(J_x,J_y)
A_1u	Γ₁^-	1	1	1	1	1	-1	-1	-1	-1	-1	·
A_2u	Γ₂^-	1	1	1	-1	-1	-1	-1	-1	1	1	z
B_1u	Γ₃^-	1	1	-1	1	-1	-1	-1	1	-1	1	·
B_2u	Γ₄^-	1	1	-1	-1	1	-1	-1	1	1	-1	·
E_u	Γ₅^-	2	-2	0	0	0	-2	2	0	0	0	(x,y)

**Subgroups of the group D_4h(4/mmm)**
Subgroup	Order	Index
D_4h(4/mmm)	16	1
D_2d(-42m)	8	2
C_4v(4mm)	8	2
D₄(422)	8	2
C_4h(4/m)	8	2
C₄(4)	4	4
S₄(-4)	4	4
D_2h(mmm)	8	2
C_2v(mm2)	4	4
D₂(222)	4	4
C_2h(2/m)	4	4
C_s(m)	2	8
C₂(2)	2	8
C_i(-1)	2	8
C₁(1)	1	16

[ Subduction tables ]

**Multiplication Table of irreducible representations of the group D_4h(4/mmm)**
D_4h(4/mmm)	A_1g	A_1u	A_2g	A_2u	B_1g	B_1u	B_2g	B_2u	E_u	E_g
A_1g	A_1g	A_1u	A_2g	A_2u	B_1g	B_1u	B_2g	B_2u	E_u	E_g
A_1u	·	A_1g	A_2u	A_2g	B_1u	B_1g	B_2u	B_2g	E_g	E_u
A_2g	·	·	A_1g	A_1u	B_2g	B_2u	B_1g	B_1u	E_u	E_g
A_2u	·	·	·	A_1g	B_2u	B_2g	B_1u	B_1g	E_g	E_u
B_1g	·	·	·	·	A_1g	A_1u	A_2g	A_2u	E_u	E_g
B_1u	·	·	·	·	·	A_1g	A_2u	A_2g	E_g	E_u
B_2g	·	·	·	·	·	·	A_1g	A_1u	E_u	E_g
B_2u	·	·	·	·	·	·	·	A_1g	E_g	E_u
E_u	·	·	·	·	·	·	·	·	A_1g+A_2g+B_1g+B_2g	A_1u+A_2u+B_1u+B_2u
E_g	·	·	·	·	·	·	·	·	·	A_1g+A_2g+B_1g+B_2g

[ Note: the table is symmetric ]

**Symmetrized Products of Irreps**
D_4h(4/mmm)	A_1g	A_1u	A_2g	A_2u	B_1g	B_1u	B_2g	B_2u	E_u	E_g
[A_1g x A_1g]	1	·	·	·	·	·	·	·	·	·
[A_1u x A_1u]	1	·	·	·	·	·	·	·	·	·
[A_2g x A_2g]	1	·	·	·	·	·	·	·	·	·
[A_2u x A_2u]	1	·	·	·	·	·	·	·	·	·
[B_1g x B_1g]	1	·	·	·	·	·	·	·	·	·
[B_1u x B_1u]	1	·	·	·	·	·	·	·	·	·
[B_2g x B_2g]	1	·	·	·	·	·	·	·	·	·
[B_2u x B_2u]	1	·	·	·	·	·	·	·	·	·
[E_u x E_u]	1	·	·	·	1	·	1	·	·	·
[E_g x E_g]	1	·	·	·	1	·	1	·	·	·

**Antisymmetrized Products of Irreps**
D_4h(4/mmm)	A_1g	A_1u	A_2g	A_2u	B_1g	B_1u	B_2g	B_2u	E_u	E_g
{A_1g x A_1g}	·	·	·	·	·	·	·	·	·	·
{A_1u x A_1u}	·	·	·	·	·	·	·	·	·	·
{A_2g x A_2g}	·	·	·	·	·	·	·	·	·	·
{A_2u x A_2u}	·	·	·	·	·	·	·	·	·	·
{B_1g x B_1g}	·	·	·	·	·	·	·	·	·	·
{B_1u x B_1u}	·	·	·	·	·	·	·	·	·	·
{B_2g x B_2g}	·	·	·	·	·	·	·	·	·	·
{B_2u x B_2u}	·	·	·	·	·	·	·	·	·	·
{E_u x E_u}	·	·	1	·	·	·	·	·	·	·
{E_g x E_g}	·	·	1	·	·	·	·	·	·	·

**Irreps Decompositions**
D_4h(4/mmm)	A_1g	A_1u	A_2g	A_2u	B_1g	B_1u	B_2g	B_2u	E_u	E_g
V	·	·	·	1	·	·	·	·	1	·
[V²]	2	·	·	·	1	·	1	·	·	1
[V³]	·	·	·	2	·	1	·	1	3	·
[V⁴]	4	·	1	·	2	·	2	·	·	3
A	·	·	1	·	·	·	·	·	·	1
[A²]	2	·	·	·	1	·	1	·	·	1
[A³]	·	·	2	·	1	·	1	·	·	3
[A⁴]	4	·	1	·	2	·	2	·	·	3
[V²]xV	·	1	·	3	·	2	·	2	5	·
[[V²]²]	6	·	1	·	3	·	3	·	·	4
{V²}	·	·	1	·	·	·	·	·	·	1
{A²}	·	·	1	·	·	·	·	·	·	1
{[V²]²}	1	·	2	·	2	·	2	·	·	4

V ≡ the vector representation
A ≡ the axial representation

**IR Selection Rules**
IR	A_1g	A_1u	A_2g	A_2u	B_1g	B_1u	B_2g	B_2u	E_u	E_g
A_1g	·	·	·	x	·	·	·	·	x	·
A_1u	·	·	x	·	·	·	·	·	·	x
A_2g	·	x	·	·	·	·	·	·	x	·
A_2u	x	·	·	·	·	·	·	·	·	x
B_1g	·	·	·	·	·	·	·	x	x	·
B_1u	·	·	·	·	·	·	x	·	·	x
B_2g	·	·	·	·	·	x	·	·	x	·
B_2u	·	·	·	·	x	·	·	·	·	x
E_u	x	·	x	·	x	·	x	·	·	x
E_g	·	x	·	x	·	x	·	x	x	·

[ Note: x means allowed ]

**Raman Selection Rules**
Raman	A_1g	A_1u	A_2g	A_2u	B_1g	B_1u	B_2g	B_2u	E_u	E_g
A_1g	x	·	·	·	x	·	x	·	·	x
A_1u	·	x	·	·	·	x	·	x	x	·
A_2g	·	·	x	·	x	·	x	·	·	x
A_2u	·	·	·	x	·	x	·	x	x	·
B_1g	x	·	x	·	x	·	·	·	·	x
B_1u	·	x	·	x	·	x	·	·	x	·
B_2g	x	·	x	·	·	·	x	·	·	x
B_2u	·	x	·	x	·	·	·	x	x	·
E_u	·	x	·	x	·	x	·	x	x	·
E_g	x	·	x	·	x	·	x	·	·	x

[ Note: x means allowed ]

**Subduction of the rotation group D(L) to irreps of the group D_4h(4/mmm)**
Irreps	Dimensions	Irreps of the point group
L	2L+1	A_1g	A_1u	A_2g	A_2u	B_1g	B_1u	B_2g	B_2u	E_u	E_g
0	1	1	·	·	·	·	·	·	·	·	·
1	3	·	·	·	1	·	·	·	·	1	·
2	5	1	·	·	·	1	·	1	·	·	1
3	7	·	·	·	1	·	1	·	1	2	·
4	9	2	·	1	·	1	·	1	·	·	2
5	11	·	1	·	2	·	1	·	1	3	·
6	13	2	·	1	·	2	·	2	·	·	3
7	15	·	1	·	2	·	2	·	2	4	·
8	17	3	·	2	·	2	·	2	·	·	4
9	19	·	2	·	3	·	2	·	2	5	·
10	21	3	·	2	·	3	·	3	·	·	5

^* C. J. Bradley and A. P. Cracknell (1972) The Mathematical Theory of Symmetry in Solids Clarendon Press - Oxford
^* Simon L. Altmann and Peter Herzig (1994). Point-Group Theory Tables. Oxford Science Publications.

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Point Group Tables of D4h(4/mmm)

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